| Introduction | Le Soleil et les saisons |  |
Précession et nutation |
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Le cycle des saisons est dû aux diverses positions qu'occupe la Terre au cours de son mouvement de *révolution* autour du Soleil. Il s'effectue en 365 jours et 6 heures sur le plan de l'écliptique, plan de référence. La planète Terre décrit une ellipse faiblement aplatie, dont le Soleil occupe un des foyers (première loi de Képler). En effet, l'*orbite* de la Terre n'est pas exactement circulaire mais elliptique. Cela signifie que la Terre ne se situe jamais à distance constante du Soleil : elle est, par conséquent, plus ou moins proche du Soleil au cours de l'année.
Le point de l'orbite de la Terre le plus éloigné du Soleil est appelé aphélie (151 millions de kilomètres) : c'est en ce point que se produit le *solstice* d'été.
Le point de l'orbite de la Terre le plus proche du Soleil est appelé périhélie (148 millions de kilomètres) : c'est en ce point que se produit le *solstice* d'hiver.
Aux *équinoxes*, la position de la Terre est déterminée par l'intersection de deux plans : le plan de l'écliptique et celui de l'équateur céleste. Ce dernier est prolongement à l'infini de l'équateur terrestre. Ainsi, cette droite d'intersection est appelée ligne des équinoxes. C'est en effet, lorsque la Terre, sur son orbite, rencontre cette ligne qu'ont lieu les *équinoxes* .
L'éloignement plus ou moins important de la Terre au Soleil, dû à la forme elliptique de son orbite, engendre un autre phénomène : la durée inégale des saisons.
Cette différence de durée s'explique grâce à la loi de la gravitation : "deux masses s'attirent avec une force F proportionnelle au produit des deux masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance". Soit plus la distance Terre-Soleil diminue, plus la vitesse de la Terre augmente.
Entre l'équinoxe d'automne et l'équinoxe de printemps, la Terre est plus proche du Soleil : les durées de l'automne (89,8 jours) et de l'hiver (89 jours) sont donc plus courtes.
Entre l'équinoxe de printemps et l'équinoxe d'automne, la distance Terre-Soleil augmente : les durées du printemps (92,8 jours) et de l'été (93,8 jours) sont donc plus importantes.
La seconde loi de Képler (Loi des Aires) se conforme parfaitement à ce phénomène.
*Képler* est également à l'origine d'une troisième loi, appelée loi des périodes, dont voici l'énoncé :"Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes des orbites des planètes." C'est la validité de cette loi que nous allons chercher à démontrer.
Pour y parvenir plus facilement, il convient d'assimiler les orbites des planètes du système solaire à des cercles. L'*excentricité* de leurs orbites est en effet très faible : elle peut donc être négligée (environ 1,7 % pour la Terre).
Dans la première partie de notre étude, on considère le mouvement circulaire d'une planète de masse m étant en orbite à une distance d du Soleil. Seule la force de gravitation du Soleil est prise en compte. Voici son expression :
| D'après la seconde loi de Newton : |  |
Dans le *repère de Frénet*, le vecteur accélération de la planète s'écrit : | ||||||
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Lorsque l'on associe les deux expressions précédentes, on obtient : |
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On établit la relation entre les deux expressions du vecteur accélération de la planète :
Or, la période de révolution d'une planète a pour expression :
En remplaçant VG par l'expression encadrée en vert, on a :
On part de cette expression de la période de révolution pour vérifier la 3ème loi de Képler :
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Sachant que la masse du Soleil MS et la constante de gravitation universelle G sont
deux constantes, alors le rapport
est donc égale à une constante soit :
La 3ème loi de Képler est ainsi vérifiée pour une planète ayant un mouvement circulaire autour du Soleil.
Les planètes du système solaire ont des trajectoires qui ne sont pas circulaires, mais elliptiques (excentricité non nulle). On cherche, maintenant, à vérifier, grâce à un graphique utilisant des échelles logarithmiques, que malgré leur trajectoire elliptique, elles satisfont la troisième loi de Képler.
Pour cela, on remplace le rayon d de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe a de la trajectoire de l'ellipse ainsi que le rapport par la constante K, soit :
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Par conséquent, la représentation graphique de la période du mouvement orbital des planètes en fonction du demi-grand axe a doit être une droite de pente 3/2 et d'ordonnée à l'origine égale à (log K)/2.
On utilise les caractéristiques des planètes du système solaire présentes dans le tableau suivant pour la réalisation du graphique :
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L'observation graphique permet d'affirmer que la 3ème loi de Képler est également vérifiée pour les planètes ayant des trajectoires elliptiques.
